Цікава задача на рівнобедреному трикутнику.

Цікава задача на рівнобедреному трикутнику.

У рівнобедреному трикутнику ABC(AB=BA) провели бісектрису AD, а у трикутнику ABD  – бісектрису DE. Знайдіть: а) величини кутів трикутника ABC, якщо відомо, що бісектриси кутів ABC та AED перетинаються на прямій AD; б) доведіть, що ED=DC; в) доведіть, що EА=АC;  г) доведіть, що чотирикутник EDCА - описаний; д) знайдіть довжини усіх сторін чотирикутника EDCА, якщо радіус в писаного кола нього кола дорівнює 2 см. е) знайдіть довжини усіх сторін трикутника ВCА, якщо радіус вписаного кола нього кола дорівнює 2 см.

Відповідь: а) кут ВАС = кут ВСА = 80^о,  кут АВС = 20^о

Розв’язання. A)Нехай К – точка перетину бісектрис кутів ABD  та AED.  Тоді ця точка знаходиться на відрізку AD і є рівновіддаленою як від променів BA  та BC, так і від променів EA  та  ED. А отже, вона буде рівновіддалена також від променів DE та DC. Тому DA – бісектриса  кута CED (інакше кажучи, точка K -- центр зовнівписанного кола трикутника EBD). Звідси та з умови задачі випливає, що кут ADC =60^o. А оскільки кут DCA  дорівнює подвоєному куту DAC, то  кутDCA =80^o. Отже, остаточно отримуємо:

кут ВАС = кут ВСА = 80^о,  кут АВС = 20^о.